一分钟速览
- 一个悬置了 87 年的著名数学难题「雅可比猜想」，上周被推翻了——找到反例的不是人，是 Anthropic 的 AI 模型 Claude Fable。
- 反例出乎意料地「小」：只有 3 个变量、7 次多项式。此前社区流传的预期是，反例若存在、次数可能要高到 200 上下。
- 验证方式硬核但人人能懂：这个多项式映射的雅可比行列式恒等于 -2（满足猜想前提），但有三个不同的点被映到了同一个点——所以它不可逆，猜想被证伪。
- 菲尔兹奖得主陶哲轩随后专门写博文，把这个反例「翻译」成更多人能跟上的语言；他自己也坦承用了 AI 聊天机器人来核对文中的多项计算。
- 冷静一句：被推翻的是三维及以上的情形，最经典的二维情形仍然悬而未决；AI 的角色是「找到」反例，钉死结论靠的仍是人和机器的反复验证。
⚑ 本文基于陶哲轩（Terence Tao）2026 年 7 月 21 日博文整理（本站已直接核阅），反例由 AI 发现的表述以其博文及其援引的 New Scientist 报道为准；发现者与公布日期经维基百科「Jacobian conjecture」词条核对；「预期次数约 200」为公开社区讨论流传的说法，非严格结论。
一个悬了 87 年的猜想，被 AI 找到了反例
数学界上周出了一件大事：著名的「雅可比猜想」（Jacobian Conjecture）被推翻了。这个问题最早可以追溯到 1884 年（两变量情形），1939 年由数学家 Keller 正式提出一般形式，此后 87 年无人能证明、也无人能推翻，还以「盛产错误证明」著称。
推翻它的方式，是拿出一个具体的反例——而找到这个反例的，是 AI。据维基百科词条记载，2026 年 7 月 19 日，Anthropic 的数学家 Levent Alpöge 公布了这个三维空间中的显式反例；陶哲轩在博文中写明，它是「用 Fable AI」找到的（即 Anthropic 的 Claude Fable 模型，也就是本站此前多篇文章里反复出现的那个旗舰模型）。7 月 21 日，菲尔兹奖得主陶哲轩发表长文，把这个反例拆解成更多人能读懂的版本。
它到底在问什么
雅可比猜想说的事，用一句话概括是：**「处处局部可逆」能不能保证「整体可逆」**。
具体一点：考虑一个从 n 维空间到 n 维空间的多项式映射（就是每个输出坐标都由输入坐标的多项式给出）。它的「雅可比行列式」可以粗糙地理解为衡量这个映射在每一点附近是否「不压扁、不折叠」的一个量——只要它是个非零常数，映射在每个点附近都表现得规规矩矩、可以局部还原。猜想断言：这种情况下，整个映射一定有一个多项式的逆映射，能把它整体还原回去。
一维的情形很容易证明是对的；二维悬而未决；而这次的反例说明——**从三维开始，这个断言是错的**。「每一处局部都规矩」并不能保证「整体不出事」，存在一个处处局部可逆、但整体上把不同的点砸到同一处的多项式映射。
反例是怎么被「钉死」的
一个号称推翻百年猜想的反例，怎么确认它是真的？陶哲轩博文里给出的验证思路，恰好是普通人也能听懂的两步。
第一步，算出这个多项式映射的雅可比行列式，结果恒等于 -2——一个非零常数，说明它完全满足猜想的前提条件。第二步，找到三个互不相同的点，它们被这个映射送到了同一个目标点（-1/4, 0, 0）——不同的输入撞出了相同的输出，这个映射当然不可能有逆。前提满足、结论不成立，猜想被证伪。两步都是可以机械复核的计算，不依赖任何「相信我」的环节。
陶哲轩顺手算了一笔账，解释这根「针」有多难捞：一个三变量七次的多项式映射，可调的系数最多约 120 个；但它的雅可比行列式是一个次数高得多的多项式，最多有 1299 个系数——要让这 1299 个系数除常数项外恰好全部相消，等于用 120 个旋钮去同时归零上千个读数。这种搜索空间巨大、约束极其苛刻的构造题，恰好是 AI 大规模搜索比人类直觉更占优的地方。
还有一个耐人寻味的细节：陶哲轩在博文末尾坦承，他自己也「使用了 AI 聊天机器人讨论这个问题的各个方面」，并用它「核对了文中的多项计算」。连给大家做人话翻译的菲尔兹奖得主，工作流里也已经有 AI 了。
这件事说明什么，不说明什么
热闹归热闹，边界照例要摆清楚。
第一，被推翻的是三维及以上的情形；最经典、悬置最久的二维情形仍然是开放问题，雅可比猜想的故事没有完全结束。第二，AI 的角色是「找到」反例——这是一次搜索与构造上的胜利；把结论钉死靠的是后续人与机器的独立复核（好在反例的验证是纯机械计算，这也是它能被迅速接受的原因）。第三，「AI 推翻猜想」不等于「AI 会证明大定理」——构造一个具体反例和写出一篇严密的长证明，是难度性质完全不同的两件事，后者 AI 目前仍然只能当助手。
但即便加上这三个限定，这仍是 AI 参与数学研究至今最漂亮的一次亮相：问题足够老、结论足够意外、验证足够干净。
来源：Terry Tao 博客《A digestion of the Jacobian conjecture counterexample》（2026 年 7 月 21 日，本站直接核阅，反例细节、验证方式与系数计算均出自此文；「用 Fable AI 找到」为其原文表述并援引 New Scientist 报道）；发现者 Levent Alpöge 与公布日期 2026 年 7 月 19 日经维基百科「Jacobian conjecture」词条核对；「预期次数约 200」来自公开社区讨论，属流传说法。配图为陶哲轩博文截图。
人类找了 87 年的反例，AI 用 3 个变量、7 次多项式给出来了——而且谁都能亲手验算。
